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Bruchrechner

Rechnen Sie mit Brüchen, gemischten Zahlen und Dezimalzahlen und erhalten Sie das exakte, vollständig gekürzte Ergebnis mit Rechenweg.

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Was möchten Sie tun?
Rechenart

Formate: 3/4, 2 1/2 (zweieinhalb), -1 1/2 (minus eineinhalb), 0,75, 1,2e-3, 0,(3) für eine periodische Dezimalzahl.

Gerechnet wird exakt mit ganzen Zahlen beliebiger Länge, es wird also nichts gerundet. Die Dezimaldarstellung wird mit höchstens 300 Stellen angezeigt; eine längere Periode wird abgeschnitten und markiert.

So rechnen Sie mit Brüchen

  1. Geben Sie den ersten Bruch ein, etwa 1/2 oder 2 1/2, wählen Sie eine Rechenart und geben Sie den zweiten ein. Dezimalzahlen wie 0,75 funktionieren ebenfalls.
  2. Lesen Sie das Ergebnis vollständig gekürzt, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl ab, wobei sich wiederholende Ziffern in Klammern stehen.
  3. Öffnen Sie den Rechenweg, um den gemeinsamen Nenner oder bei der Division das Überkreuzmultiplizieren zu sehen. Wechseln Sie zu Kürzen oder umwandeln, um einen einzelnen Bruch zu kürzen oder eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln.

Warum es sich lohnt, Brüche exakt zu halten

Eine Dezimalzahl wie 0,333333 ist nur eine Näherung für ein Drittel, und jede Rechnung mit Näherungen fügt ein wenig mehr Fehler hinzu. Ein Bruch ist exakt: 1/3 + 1/6 ist genau 1/2. Dieser Bruchrechner speichert deshalb jeden Wert als Paar ganzer Zahlen, Zähler und Nenner, und kürzt das Paar nach jedem Schritt, indem er beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilt. Erst am Ende berechnet er die Dezimalzahl durch schriftliche Division und zeigt, welche Ziffern sich wiederholen.

Zum Addieren und Subtrahieren braucht man einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner ist die kleinste Zahl, durch die beide Nenner teilbar sind: Für 1/4 und 1/6 ist es 12, die Summe ist also 3/12 + 2/12 = 5/12. Multiplizieren geht direkter: Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner. Dividieren wird zum Multiplizieren mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs, und deshalb kann man nicht durch einen Bruch teilen, der null ist.

Eine gemischte Zahl wie 3 1/7 ist einfach eine ganze Zahl plus ein echter Bruch und entspricht dem unechten Bruch 22/7. Zum Umwandeln multipliziert man den ganzzahligen Teil mit dem Nenner und addiert den Zähler. Negative Werte tragen ihr Vorzeichen vor dem Ganzen: −3 1/7 bedeutet −(3 + 1/7), also dasselbe wie −22/7.

Tipps

Häufige Fragen

Wie gebe ich eine gemischte Zahl ein?

Geben Sie die ganze Zahl ein, dann ein Leerzeichen und den Bruch: 2 1/2 bedeutet zweieinhalb. Ein Minuszeichen davor gilt für die ganze gemischte Zahl, -1 1/2 ist also −3/2, das heißt −(1 + 1/2), und nicht −1 + 1/2. Das Ergebnis wird immer mit dem Vorzeichen vor dem gesamten Wert angezeigt, zum Beispiel −1 1/2.

Welche Dezimalzahlen kann ich eingeben?

Normale Dezimalzahlen wie 0,75 oder ,5, Exponentialschreibweise wie 1,2e-3 (das ist 3/2500) und periodische Dezimalzahlen mit der Periode in Klammern: 0,(3) ist 1/3 und 0,1(6) ist 1/6. Jede wird in einen exakten Bruch umgewandelt, 0,1 ist hier also genau 1/10 und 0,1 + 0,2 genau 3/10.

Wie wird der Rechenweg ermittelt?

Zum Addieren und Subtrahieren sucht der Rechner den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), erweitert beide Brüche darauf, verrechnet die Zähler und kürzt anschließend. Bei der Multiplikation multipliziert er Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner, bei der Division multipliziert er mit dem Kehrwert, was dem Überkreuzmultiplizieren entspricht: a/b ÷ c/d = (a × d) ÷ (b × c).

Warum haben manche Brüche periodische Dezimalzahlen?

Ein vollständig gekürzter Bruch endet nur dann nach wenigen Stellen, wenn sein Nenner keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat. Andernfalls kehrt die schriftliche Division zu einem Rest zurück, den sie schon einmal hatte, und die Ziffern wiederholen sich ab dort: 1/7 ist 0,(142857) mit einer sechsstelligen Periode, und 1/6 ist 0,1(6). Die Klammern zeigen die Periode.

Was passiert bei einer Null im Nenner?

Ein Bruch wie 3/0 wird mit einer Meldung abgelehnt, denn keine Zahl ergibt mal 0 genommen 3. Die Division durch einen Bruch mit dem Wert 0, zum Beispiel 1/2 ÷ 0, wird ebenfalls abgelehnt. Eine Null im Zähler ist kein Problem: 0/5 ist 0.

Kommt der Rechner mit sehr großen Zahlen zurecht?

Ja. Der Rechner verwendet ganze Zahlen beliebiger Länge, daher ergibt 123456789012345678901/2 + 1/3 genau 370370367037037036705/6, ohne Rundung auf 15 Stellen, wie sie ein Rechner mit Gleitkommazahlen vornehmen würde. Für Dezimalrechnungen mit Winkelfunktionen und Logarithmen nutzen Sie den wissenschaftlichen Taschenrechner.